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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4.
En cada uno de los siguientes casos, dar una ecuación vectorial para la recta que:
d) es perpendicular a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,-2,1)+(3,5,7), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y pasa por $P=(1,9,-3)$. ¿Es única?
d) es perpendicular a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,-2,1)+(3,5,7), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y pasa por $P=(1,9,-3)$. ¿Es única?
Respuesta
Si nuestra recta es ahora perpendicular a la recta $L$, eso significa que si hacemos el producto escalar entre sus vectores directores nos debería dar cero.
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Entonces, lo primero que hago es plantear que el vector director de mi recta $L_4$ es de la forma
$\vec{v} = (v_1 , v_2, v_3)$
donde $v_1$, $v_2$ y $v_3$ son números reales.
Ahora pido que el producto escalar entre este vector $\vec{v}$ y el vector director de la recta $L$ sea cero:
$(v_1 , v_2, v_3) \cdot (1,-2,1) = v_1 - 2 \cdot v_2 + v_3$
Igualo a cero:
$v_1 - 2 \cdot v_2 + v_3 = 0$
De acá voy a elegir despejar $v_3$ en función de $v_1$ y $v_2$
$v_3 = -v_1 + 2 \cdot v_2$
Reemplazo este resultado $\vec{v}$
$\vec{v} = (v_1 , v_2, v_3) = (v_1, v_2, -v_1 + 2 \cdot v_2)$
-> Atenti acá. Acordate que $v_1$ y $v_2$ son números reales y acabamos de llegar a la conclusión que cualquier vector de la forma:
$(v_1, v_2, -v_1 + 2 \cdot v_2)$
va a ser perpendicular al vector director de $L$.
Asi que, como necesitamos encontrar una recta $L_4$ que cumpla con lo pedido, elegimos cualquier combinación de $v_1$ y $v_2$. Yo por ejemplo voy a elegir $v_1 = 1$ y $v_2 = 1$, entonces me queda...
$\vec{v} = (v_1, v_2, -v_1 + 2 \cdot v_2) = (1,1,1)$
El punto de paso lo tenemos, así que una ecuación paramétrica de una recta que verifica lo pedido por el enunciado es...
👉 $L_4: \lambda (1,1,1) + (1,9,-3)$
Esta no es la única recta que verifica lo pedido, hay infinitas rectas que lo hacen. Fijate que tuvimos libertad para elegir una combinación de $v_1$ y $v_2$ y, los vectores $\vec{v}$ que obtengamos en cada caso no necesariamente van a ser paralelos, así que eso nos va a dar como resultado rectas distintas. Todas estas bien, todas verifican lo pedido ;)
Si vos hiciste el ejercicio y llegaste a otro vector director, podés chequear que cumpla lo pedido haciendo el producto escalar entre tu vector director y el de $L$, te debería dar cero :)
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